外聘教师是什么性质的我不太清楚，从你的描述看，你朋友应该是劳动合同法规定的非全日制用工的情形，这种情况可以口头约定，不是必须签订劳动合同的。只有正式的全日制用工才是必须签订劳动合同的，你朋友这种情况应该不属于学校的正式职工，可能不能把档案和组织关系转过去。
外聘老师肯定要签合同的，这样可以规定双方的权利与义务，规避很多风险对双方都有利的。
应当签订书面的劳动合同。
我是律师，就你所述，1、应当签。2、可以。
