It is a program that helps homeless people.为什么用的是helps而不是helping

that后面跟句子说的是that作为从句引导词引导一个从句的情况。
在这里，这句话是一个定语从句。that以及之后的内容作定语修饰program。
that作为从句的引导词，在从句中替换了主句中被修饰的成分（这是为了让整个句子更简洁，避免重复），也即program。那么这句话可以拆分成两个独立的句子：
(a) It is a program.
(b) the program helps homeless people.
由此可见help在从句中是program的谓语，而这里的program是单数形式，所以这里的help应该用它的第三人称单数形式，也就是helps。

因为用了helping整个句子就没有谓语了，就是个错句了，而这里的is是做强调句里用的，不能算做真正的谓语

因为有that，that helps homeless people是program的定语从句，program在定语从句中作主语用单三形式helps
去掉that，help就可变为helping
It is a program helping homeless people.

因为这是强调句.你把it is 和that都删掉是一个完整的句子.

这是一个定语从句，从句缺少主语可用THAT或WHICH。

这是一个定语从句，that做从句的主语，后面是谓语