试用角动量守恒定理证明“开普勒第二定律”。

2024-10-27 21:30:19

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回答1：

开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线，在相等的时间内扫过的面积相等，即掠面速度不变．

利用角动量守恒定律证明如下。

证明：行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星对太阳的角动量L守恒（为常矢量）．L的大小为
L=r*m*v*sinp=常数 (1)
其中p是矢径r与行星速度v的夹角．

设在足够小的dt时间内，太阳到行星的矢径r扫过的角度很小，于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为
dS=0.5*r*v*dt*sinp

则矢径r掠过的面积速度为
u=dS/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp (2)

(2)式同(1)式对比可得
L=2m*u=常数

于是u即掠面速度是常数。
由此得证：由角动量守恒，行星运动的掠面速度不变。