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证：a2b2+b2c2+c2a2⼀a+b+c>=abc,abc为正数

2024-11-19 17:21:19

推荐回答（3个）

回答1：

证明：只要证明2（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）>=2（a^2bc+ab^2c+abc^2）
即证a^2(b^2+c^2)+b^2(a^2+c^2)+c^2(a^2+b^2)>=a^2(2bc)+b^2(2ac)+c^2(2ab)
也即a^2(b-c)^2+b^2(a-c)^2+c^2(a-b)^2>=0
显然成立，所以原不等式成立

回答2：

（ab-bc)^2+(ac-bc)^2+(ac-ab)^2≥0,展开整理
则a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
abc为正数,a2b2+b2c2+c2a2/a+b+c>=abc

回答3：

两边乘a+b+c,=>a2b2+b2c2+c2a2=a2bc+b2ac+c2ab
由a2b2+b2c2>2acb2轮换对称得
b2c2+c2a2>2bac2
c2a2+a2b2>2cba2
三个相加即可

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