lim x→+∞[√(x+a)√(x+b)-x]
=lim x→+∞[(x+a)(x+b)-x^2]/[√(x+a)√(x+b)+x]
=lim x→+∞[ab+(a+b)x]/[√[x^2+(a+b)x+ab]+x]
=lim x→+∞[ab+(a+b)x]/(x+x)
=lim x→+∞[ab/2x +(a+b)/2]=(a+b)/2
关键是分子有理化。
原式=lim x→+∞{[√(x+a)√(x+b)]^2-x^2}/{[√(x+a)√(x+b)+x}=lim x→+∞[(a+b)x+ab]/{[√(x+a)√(x+b)+x},上下式子都除以x,则极限=
(a+b)/2
(a+b)/2
令t=1/x, t→0
lim x→+∞√(x+a)√(x+b)-x
=limt→0(√(1+at)√(1+bt)-1)/t
=limt→0[(a+b)+abt]/[(√(1+at)√(1+bt)+1]
=(a+b)/2.
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