求1∧2+2∧2+3∧2……n∧2=n（n+1）（2n+1）⼀6推到过程

1、数学归纳法可以证
2、也可以如下做
比较有技巧性
①n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
②利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
③另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

1∧2+2∧2+3∧2……n∧2=n（n+1）（2n+1）/6？
应该是1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6吧？
证：
设：1²+2²+3²+……+n²=Sn
因为：
(n+1)³-n³=n³+3n²+3n+1-n³=3n²+3n+1
所以，有：
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
5³-4³=3×4²+3×4+1
……
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
上述各式相加，得：
(n+1)³-1³=3×(1²+2²+3²+……n²)+3×(1+2+3+……+n)+n
n³+3n²+3n=3×(Sn)+3×(n+1)n/2+n
3×(Sn)=n³+3n²+3n-3×(n+1)n/2-n
3(Sn)=n³+3n²+3n-(3n²+3n)/2-n
3(Sn)=(2n³+6n²+6n-3n²-3n-2n)/2
3(Sn)=(2n³+3n²+n)/2
3(Sn)=n(2n²+3n+1)/2
3(Sn)=n(n+1)(2n+1)/2
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
即：1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证毕。